这虽然是他第一次担任美利坚国家队教练，却显得胸有成竹。
早前他曾听其他教练抱怨，说这帮天才学生经常在讨论课上用些怪招解题，弄得教练下不来台。
但卡尔森并不在意。
十年前，他也曾以选手的身份坐在类似的教室里备战IMO，对这些所谓的“非常规技巧”再熟悉不过。
“大家好。”
卡尔森拿起粉笔，在黑板上唰唰写下自己的名字和邮箱，转过身拍了拍手上的粉笔灰，“从今天起，由我来给大家上数论专题，平时叫我威廉就行。我对大家的要求很简单：到了正赛，咱们拿六枚金牌回来。”
事实证明，能拿到普林斯顿教职的人，确实有两把刷子。
随着内容缓缓铺开，数论模块里艰涩的定理被他拆解得条理分明。
教室里很快安静下来，只剩粉笔敲击黑板的笃笃声，学员们听得入了神。
除了李傲。
他微微低着头，手指不停翻过一页页讲义。
卡尔森教授的讲课进度，对他而言还是太慢了。
一节数论课结束，趁着课间休息的空当，李傲合上书本，发现视线里的体力属性又悄然往上跳了一点。
【体力：114.2】
“看来这段时间的高强度用脑，连带着体力也在稳步上涨。”他暗自思忖。
随着下课的动静，教室里的紧绷感稍稍褪去。
由于下节数论习题课还在原教室上，大家基本都没挪窝，坐在座位上边吃东西边闲聊。
“兄弟们，”一旁的迈克尔靠在椅背上，伸了个懒腰挑起话题，“比完 IMO之后你们都有什么打算？要不要凑一块儿出去玩儿几天？”
尽管集训才刚开始，但距离 IMO正赛已经不到半个月了。
而正赛结束后到学校开学前，至少还有两三周的空档期。
原本轻松的空气安静了几秒。
凯文最先开口：“我已经12年级了，开学就直接上大学。我打算进个课题组去做科研，得提前熟悉环境，没法跟你们去玩了。”
他将要去的是麻省理工学院（MIT），那里人才济济，竞争激烈，想要出人头地，荒废时间是绝对不允许的。
两三周的假期，正好用来提前学习。
娜塔莉亚的想法差不多，她接过话茬：“我虽然开学才 12年级，但也准备找个课题组提前体验科研，剩下的假期估计得泡在图书馆了。”
听完这两人的话，迈克尔脸都垮了：
“靠，”他有些抓狂地抓了抓头发，“你们这也太拼了吧，忙了一暑假还要学？”
他叹了口气，有些郁闷地靠在椅背上：“这次比赛在安南国，本来我还查了攻略，想约你们去白马国家公园徒步看瀑布呢。得，听你们这么一说，我也跟着焦虑起来了……算了，我也不出去玩儿了。就知道跟你们这帮疯子混在一起，迟早要被同化。”
自始至终，他都没去问旁边的李傲，因为根本没那必要。
谁都知道这小子每天以学习为乐，一天恨不得学二十四小时，指望他放假出去玩儿，难度大概和让尼亚加拉瀑布倒流差不多。
李傲默默听着他们的讨论，没有插嘴，心里却早已把假期的安排盘算得明明白白。
很快，休息时间结束，数论习题课开始。
卡尔森教授拿着讲义再次走上讲台，没有多余的废话，转身在黑板上写下题目：
“设p为奇素数，a为与p互素的整数，并且满足a^(p-1)除以p^2余1。”
“证明：对任意正整数n，都有a^(p^(n-1)(p-1))除以p^(n+1)余1；并进一步判断，若把指数中的p^(n-1)换成更小的正整数，结论是否仍然成立。”
写完最后半个括号，他丢下粉笔转过身：“先看这道数论题，给你们十分钟时间思考，等会儿我点人上来，用不同的解法求证。”
经历过夏令营的轮番轰炸，大家对这种“一题多解、当众挑错”的高压模式早已习以为常。
卡尔森话音刚落，教室内便响起一片在草稿纸上演算的沙沙声。
在这个空隙里，卡尔森教授习惯性地顺着走道来回踱步。
但他的目光，却总是有意无意地落在李傲身上。
从上节课开始他就留意到了，这个年轻人在台下全神贯注地翻着自己的讲义，完全没听课。
哪怕现在到了习题环节，李傲依旧沉浸在自己的进度里。
作为教练，卡尔森觉得，有必要稍微敲打一下，让这个年轻人认清自己的状况。
十分钟刚过，他停下脚步，目光锁定在李傲身上，微微一笑：
“那就请 Leo先来吧。”
李傲本来打算趁着习题课把讲义全刷完，省下时间好去继续看常微分方程，没料到第一个就被点到了名字。
他略微停顿了一下，随后干脆地合上笔帽，起身走向黑板。
作为本届国家队里最受瞩目的焦点，他这一动，立刻把全班的目光都牵引了过去。
所有人都停下了笔，等着看他能抛出什么解题思路。
第84章 p进数（求追读求月票）
发现被叫上黑板的人不是自己，本杰明稍稍有些遗憾。
这道题他其实已经有了思路。
不过他很快转头看向讲台上的李傲，他也想看看，李傲会怎么处理这道题。
座位上，迈克尔往凯文那边倾了倾身子，瞥了一眼对方草稿纸上写了一半的推导过程，压低声音问：“怎么样，你有思路了没？”
“有了一点，还在推。”凯文摇摇头，视线转向讲台，“不过以李傲的数论水平，这题应该难不住他。”
黑板前，李傲拿着粉笔，从头扫了一遍题目条件。
几秒钟的功夫，几种解法已经在脑海里过了个大概。
他没在意背后的窃窃私语，直接抬手落笔。
“先令 u=a^(p-1)。题设等价于 u=1+p^2c。在 p进数中取对数，可得 v_p(log u)≥2……”
粉笔在黑板上敲出轻响。他直接越过了繁杂的同余展开，写下结论：
“因此，u^(p^(n-1))-1至少含有因子 p^(n+1)。也就是说，a^(p^(n-1)(p-1))≡1 mod p^(n+1)。”
“如果把指数中的 p^(n-1)缩小，并取 c不能被 p整除的情况，赋值会下降一阶，结论就不再成立。”
这就是数论中的 p进数理论——直接用高等数学的标准工具来降维处理竞赛题。
写完最后一行，李傲转过身：
“写完了。”
教室里安静了片刻。
除了卡尔森教授，底下的几个队员基本只看懂了前半段的同余条件，到了 p进对数那几行，就看不明白了。
本杰明盯着黑板上的推导，眉头微微皱起。
虽然看不太懂，但凭他的数学直觉，也知道这个思路绕开了大段繁琐的同余展开，比他自己想到的方法简练得多。
“这是什么方法……居然绕开了繁琐的同余展开，比我的做法省了太多步骤。”
他正琢磨着，讲台旁的卡尔森教授开了口。
卡尔森其实有些意外。
他原以为这道题能难住李傲，借机敲打一下这个上课走神的学员，没料到对方不仅证得轻松，用的还是 p进数理论。
毕竟怎么看，这都不像是一个高中竞赛生该掌握的知识。
“这孩子以前系统学过代数数论？”卡尔森暗自思忖。
他轻咳了两声掩饰意外，随即收起随意的神色，向众人强调起 IMO解题工具的边界：
“Leo，你这套证明逻辑上确实没问题。但是，用p进数理论解题不符合 IMO的规范。在正赛里，像 p进数、群论这种超纲的高数工具是被禁用的。如果你在考场上这么写，一分也拿不到。”
对于接触过高等数学的学生来说，遇到难题的第一反应往往是直接调用合理的工具，而不是去思考技巧。
就像中学生做小学奥数题，总会下意识地列方程一样。
但 IMO毕竟不是大学期末考试，参赛者必须用初等数学的方法把问题讲透。
李傲听罢，停下正要走下讲台的脚步，点点头：“这样啊。”
说完，他没怎么迟疑，当即转过身，在黑板的另一侧写起初等解法。
“设 a^(p-1)=1+p^2t。那么 a^(p^(n-1)(p-1))就等于(1+p^2t)^(p^(n-1))……”
粉笔字写得飞快。
作二项展开后，常数项之后的第一项正好是 1+p^(n+1)t，后面的各项都含有更高次的 p，因此模 p^(n+1)仍然余 1。
同理，如果指数里少一个 p，且 t本身不能被 p整除，那么第一个非平凡项只能到 p^n，结论就未必成立。
这套初等解法写下来，耗时比刚才也长不了多少。
卡尔森教授迅速检查了一遍。
确认没有任何漏洞后，他愣了一下。
他完全没想到，李傲不仅会用代数数论的方法，换回初等方法后依旧写得这么干净利落。
能在短时间内用两种截然不同的思路解同一道题，说明这学生对数论的理解非常扎实。
据卡尔森所知，哪怕是一些高年级本科生，也很难迅速做到这一步。
“怪不得他不怎么听课。”
他心里有了底，紧接着又想起一件事，顺口问李傲：“你系统学过代数数论？”
他这么猜并不奇怪。
一个高中生能熟练写出 p进数证明，多半是提前上过高等数论课。
毕竟国家队中，每年学有余力提前接触高等数学的竞赛生不在少数。
李傲放下粉笔，如实回答：“没系统学过，只是了解过 p进数这套理论。”
说完，他走下讲台，回到了座位。
能进美国 IMO国家队，会的东西多一些自然正常。
可连 p进数这种大学高年级甚至研究生阶段才会接触的工具都能用，那天赋就多少有些离谱了。
单靠每天学上十几二十个小时，恐怕也未必能堆出来。
迈克尔和丹尼尔还是第一次看到李傲完整展示解题过程。
两人对视了一眼，都从对方眼里看到了惊讶。
“太强了，不愧是 Leo。”
凯文则更直接，李傲刚坐下，他就竖起了大拇指。
旁边的本杰明忍不住问：“Leo，你不会是一边学常微分方程，一边还在自学代数数论吧？”
“那倒没有。”李傲摇头。